带反馈的McKean-Vlasov方程的半解析解

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英文标题：
《Semi-analytical solution of a McKean-Vlasov equation with feedback
  through hitting a boundary》
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作者：
Alexander Lipton, Vadim Kaushansky, and Christoph Reisinger
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we study the non-linear diffusion equation associated with a particle system where the common drift depends on the rate of absorption of particles at a boundary. We provide an interpretation as a structural credit risk model with default contagion in a large interconnected banking system. Using the method of heat potentials, we derive a coupled system of Volterra integral equations for the transition density and for the loss through absorption. An approximation by expansion is given for a small interaction parameter. We also present a numerical solution algorithm and conduct computational tests.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了与粒子系统相关的非线性扩散方程，其中共同漂移取决于粒子在边界处的吸收速率。我们将其解释为在大型互联银行系统中存在违约传染的结构性信贷风险模型。利用热势方法，我们导出了跃迁密度和吸收损耗的Volterra积分方程组。对于一个小的相互作用参数，给出了一个展开近似。我们还提出了一种数值求解算法并进行了计算测试。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Semi-analytical_solution_of_a_McKean-Vlasov_equation_with_feedback_through_hitti.pdf (1.31 MB)

2022-6-23 18:47:35 上传

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关键词：McKean MCK Applications Quantitative Computation

带反馈的McKean-Vlasov方程的半解析解*, Vadim Kaushansky+，Christoph Reisinger§abstract在本文中，我们研究了与粒子系统相关的非线性扩散方程，其中共同漂移取决于粒子在边界处的吸收速率。我们将其解释为在大型互联银行系统中存在违约传染的结构性信贷风险模型。利用热势法，我们导出了跃迁密度和吸收损耗的Volterra积分方程的耦合方程组。对于一个小的相互作用参数，给出了一个展开近似。我们还提出了一种数值求解算法并进行了计算测试。1引言在本文中，我们推导了相互作用粒子密度的半解析解，其中相互作用是由粒子撞击bo undar y时对系统的冲击产生的。这种类型的方程最近出现，作为神经元网络“整合和修复”行为以及互联银行网络中系统性违约风险的模型。结构违约模型，即银行的违约是由其资产低于负债而引发的，自默顿（Merton，1974）的开创性工作以来，已有几十年的研究。这些模型的基本版本有几个局限性：大多数模型没有考虑到银行是相互关联的，因此忽略了传染性违约的可能性（但请参见，例如？？）。为了解决这一问题，Lipton（2016）结合了结构andEisenberg a和Noe（2001）框架，不仅考虑了外部负债，还考虑了共同负债。另一个问题是维度诅咒。数值和分析PDE技术通常应用到三维（Itkin和Lipton（2017），Itkin和Lipton（2015），Kaushansky等人。

（2018a），Kaushansky等人（2018b））；对于任何较大的维度，通常认为只有蒙特卡罗方法是可行的，这种方法收敛速度慢，而且本质上有噪声。*美国马萨诸塞州剑桥市麻省理工学院、连接科学学院和瑞士洛桑联邦理工学院，电子邮件：alexlipt@mit.edu+英国牛津大学数学研究所和牛津人研究所，电子邮件：vadim。kaushansky@maths.ox.ac.uk第二作者衷心感谢经济和社会研究理事会和美国银行美林数学研究所和牛津大学牛津人研究所的支持，安德鲁·威尔斯大厦，牛津伍兹托克路，牛津，OX2 6GG，英国，电子邮件：christoph。reisinger@maths。ox.ac.uk当银行系统庞大且同质，且仅关注宏观数量时，可以考虑对银行的资产价值过程进行大池近似（从技术上讲，通过对银行数量进行经验测量）。Bush等人（2011年）首次研究了这种方法。接下来，Nadtochiy a和Shkolnikov（2017年）以及Hambly et al.（2018年）也考虑了相互作用的影响，通过考虑一个具有企业违约积极反馈的车辆系统。这导致了McKean-Vlasov型方程，该方程模拟了银行系统的典型代表，其动力学取决于更广泛系统中的损失。利普顿（2016）模型提供了另一种观点，将银行数量计算到单位。这条路线导致了相同的方程式，如我们在下一节中的推导所示。Hambly等人。

（2018）假设银行之间的零相关性，相互作用对损失函数具有线性依赖性，并获得了解的存在性和唯一性，需要爆破以获得足够大的相互作用参数。Hambly和Sojmark（2018）以及Ledger和Sojmark（201 8）引入了银行之间的正相关，而Nadtochiy和Shkolnikov（2017）以及Nadtochiy和Shkolnikov（2018）通过损失函数考虑了非线性依赖性。最近，Ichiba等人（2018）推导了m的McKean-Vlasov SDE，该SDE是针对具有局部和平均违约强度的交互银行系统中的平均银行准备金的非线性跳跃扩散。早些时候，在神经科学中发现了一个类似于此处研究的模型，其中一个大型电耦合神经元网络可以用McKean–Vlasov类型方程来描述（C'aceres et al.（2011）；Carrillo等人（2013年）；Delarue等人（2015b，a））。如果aneuron的电位达到某个固定阈值，它会跳到更高的电位水平，并向其他神经元发送信号。最初，Kac（1956）提出了McKean–Vlasov型方程，作为等离子体Vlasov动力学方程的随机玩具模型，McKean（1966）对此进行了详细研究。近年来，从理论和实践的角度来看，平均场问题，尤其是McKean-Vlasov型方程，已经成为应用数学中非常热门的话题。除了上述论文中的具体形式外，这些问题的不同版本已应用于数学金融，例如，在投资组合优化（Borkar和Suresh Kumar（2010）考虑了大量股票的最优部门分配）和博弈论（例如，Hua ng et al。

（200 6）讨论管理者在群体效应方面的最佳行为）。从数值的角度来看，有针对TypicalMcken–Vlasov方程的既定模拟方法（见Bossy和Talay（1997）和Antonelli et al.（2002）），最近，几位作者分析了多级和多指数方案（见Ricketson（2015）、Szpruch et al.（2017）、Haji Ali和Tempone（2018））和importancesampling（Reis et al.（2018））。然而，由于反馈的奇异性和路径依赖性，这些方法都不包括上述模型。这里，为了简单起见，我们考虑Hambly等人（2018）的版本。对于该模型，Kaushansky和Reisinger（2018）提出了一种规则型粒子方法，并证明了该方法在时间步长内以1/2阶收敛，使用布朗桥可以将其改进为1。在本文中，我们展示了如何通过重新模拟来解决这些方程，首先是一个类似于经典Stefan问题的非线性自由边界问题，然后是两个耦合Volterra方程组。首先，对于平均场相互作用的给定漂移项，该问题被公式化为具有曲线边界的半有限域上的扩散问题，其解用热势法半解析表示。Watson（2012）和Tikhonov及Samarskii（1963）对热势进行了详细介绍（第530-535页）。Lipton（2001）首次使用热势法对具有曲线屏障的pat h依赖型期权进行定价（第12.2.3节，第462-467页）。其次，通过两个耦合Volterra方程的第一步结果的解来表示相互作用项。关于热势对特凡问题的早期应用，请参见（Rubinstein，1971年，第二部分，第1章）。

然后，这些奇异Volterra方程可通过小相互作用参数的展开方法，或通过离散化和Newton-Raphson迭代进行数值求解。Gobet和Pagliarani（2018）最近研究了具有漂移平均场相互作用的McKean-Vlasov方程的展开方法，执行迭代两步程序，将漂移对过程规律的依赖性所产生的非线性与对状态变量的标准依赖性解耦。本论文不仅在所采用的解决方法上有所不同，而且从根本上在所考虑的平均场相互作用（通过命中时间而不是漂移预期）和扩展参数（对于小漂移相互作用而不是小波动性）上也有所不同。为了评估（一阶）扰动解的准确性，并说明展开式失效时强相互作用的行为，我们描述了一个简单的数值算法，但请读者参考大量关于Volterra方程高级数值方法的成熟文献（见第4.2节）。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们提供了Hambly等人所述模型的另一种推导方法。

（2018）以Lipton模型中的众多公司为例（2016）；在第3节中，我们使用热势方法，根据Volterra方程推导出曲线上布朗运动的第一次通过密度的解，并获得o r iginalMcKean–Vlasov方程中的相互作用项；在第四节中，我们考虑了相应Volterra方程组的摄动方法和数值方法；在第五节中，我们展示了数值例子并比较了各种方法；在第6节中，我们得出结论。2大型银行系统的平均场限额继Lipton（2016）之后，我们考虑了一个由N家银行组成的系统，其中包括外部银行、互助银行和负债银行。我们用li表示银行i的对外负债，用li表示银行i对银行j的负债。假设银行i的总对外资产的动态由daitait=uidt+σidWit控制，其中wi是1的独立标准布朗运动≤ 我≤ n、 而负债，无论是对外负债还是相互负债，都是不变的。当i银行的资产低于其负债确定的某一阈值时，即在时间τi=inf{t:Ait时，假设i银行违约≤ ∧it}，其中∧是我们现在计算出的默认边界。在时间t=0时，继Lipton（2016）之后，∧i=RiLi+Xj6=iLij！-Xj6=iLji，其中Ri是银行i的回收率，即如果银行i的外部和对其他银行负债的回收价值超过其外部和来自其他银行的资产之和，则银行i违约。由于负债和回收率假定在时间上保持不变，因此在某些银行违约之前，违约边界保持不变。

如果k银行在时间t违约，i银行的违约边界就会跳过去（另见Lipton（2016））∧it=（1- RiRk）Lki。在下文中，我们假设对于某些u、σ、R、a和Li=L和Lij=γN，银行具有相同的参数，即ui=u、σi=σ和Ri=R，对于某些L，γ>0，这两个参数都是常数。特别是，这意味着资产价值过程是可交换的，对于某些∧，我们有∧i=∧，这将允许我们采取更大的池限制。因此，我们可以写出∧itas∧it=∧i+γNXk6=i（1- R） {τk≤t} 。更方便的是引入到默认值Yit=log（Ait/λIt）/σ的距离，然后Yit=Yi+（u- σ/2）t+Wit-σlog1+γNXk6=i（1- R） ∧{τk≤t} ！。使用近似对数（1+x）≈ x对于小x（即，假设只有一小部分ba-nks尚未默认ed），我们得到t<τiYit=Yt+（u- σ/2）t+Wit-γ(1 - R） σ∧LNt，LNt=NXk{τk≤t} 。为简单起见，我们采用特殊情况u- σ/2=0（在任何情况下，该项对于实际参数值来说都很小，对结果没有任何定性影响）。然后，使用Hambly等人（2018）中的混沌传播，可以在N的极限内获得→ ∞ 所有Y与Y具有相同的分布，由Y=Y+Wt给出- αLt，Lt=P（τ≤ t） ，τ=inf{t∈ 【0，T】：Yt≤ 0}，（1），其中α=γ（1-R） σ∧。Hambly et al.（2018）和Ka ushansky and Reisinger（2018）认为Yas是密度为f（x）的给定分布的随机变量。为简单起见，我们假设Y=za。s、 对于某些z>0的情况，通过取Aiand∧，所有i的结果都是相同的，但可以通过生成Airandom和从相同的分布中得出结果来扩展。请注意，上面的负债和下面的损失函数之间存在轻微的歧义，这两个函数都由L表示。

从上下文和使用的索引中应该清楚地知道引用了哪一个，因此为了与文献保持一致，我们保留了符号。停止过程Yt的分布∧τ可以写成Ltδ+p，其中δ是集中在0的原子量度，p是连续分量。将递增过程L写入αLt=-Rtu（t′）dt′对于某些负u，p满足t（t，x；z）=-u（t）px（t，x；z）+pxx（t，x；z），p（0，x；z）=δ（x-z） ，p（t，0；z）=0。（2） 使用关系Lt=1-R∞p（t，x；z）dx，我们可以用p byg（t；z）表示u：=dLtdt=-Z∞ptdx=u（t）Z∞pxdx-Z∞pxdx=px（t，0；z），（3），其中我们使用了PDE（2）以及p（t，0；z）=0和limx→∞p（t，x；z）=limx→∞px（t，x；z）=0。因此，（2）可以用自洽形式pt（t，x；z）=αpx（t，0；z）px（t，x；z）+pxx（t，x；z），p（0，x；z）=δ（x- z） ，p（t，0；z）=0。（4） 根据（1）中的第二个方程式，g也是y第一次通过时间的密度。注意到Peskir（2002）关于布朗运动第一次通过问题的结果，应用于Yt- Lt，Hambly et al.（2018）给出了L的以下Volterra方程：Φz- αLt√t型=ZtΦαLt- Ls公司√t型- sdLs。与此方程相反，我们将导出一个Volterra方程耦合系统，该系统同时给出p和g（即，不是累积分布）。这些都是更标准的形式，左侧没有非线性Φ，右侧没有L积分，因此在数值上更符合要求。在图1（a）中，我们绘制了损失函数t→ Lt，通过本文剩余部分描述的方法计算，用于α的不同值，其中α测量银行系统的互连性。

由于银行间负债，损失急剧增加，甚至可能导致系统性事件，这里的α大于0.9左右。因此，如图1（b）所示，损失率从爆炸前t的大梯度px（t，0）增加到了t，然后引发了中尉Nadtochiy a和Shkolnikov（2017）的跳跃。他们首先在模型中给出了这种行为的严格数学特征，Hambly等人（2018）进一步证明了这种“爆破”对于足够大的α的必要性，这取决于初始分布。上述第一原理的推导使我们能够估计α的经济意义值；参见Bujok和Reisinger（2012），了解信贷利差初始值yi的估计。根据David和Lehar（201 4），平均而言，与总负债相比，欧盟的银行间负债比例为12%，加拿大为8%，并且根据联邦储备银行ofSt的经济研究网站。路易斯，美国4.5%。以欧盟地区为例。在我们的符号中，Pj6=iLij≈ γ ≈0.121-0.12升≈ 0.14L，其中Li=L是各银行的对外负债，假设相同。我们可以把α写成α≈σ(1 - R） γRL- (1 - R） γ≈σ(1 - R） 0.14R- (1 - R） 0.14.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91tLtα=0。95α = 0. 8α = 0. 7α = 0. 5α = 0. 3α = 0. 1α = 0. 0（a）00.20.40.60.810.040.060.080.10.120.140.160.1800.511.52txp（t，x）（b）图1：（a）α和z=0.5的不同值的Lt。（b） α=0.95时的密度p（t，x）。资产的典型波动率从1%到8%不等，这可以通过校准一维Lipton和Sepp（2009）模型来证实。即使对于保守情况，当回收率接近1时，我们也会得到一个显著的α值。精确地说，f或R=0.9，σ=0.08，我们得到α≈ 0.3.